# Integração Aproximada pelo Método do Trapézio

Ontem, um estudante que assistiu minha série sobre [Portugol Studio no Youtube](https://www.youtube.com/channel/UCsXyoSkpyZB741fkBKeEovQ) entrou em contato comigo. Ele queria saber como implementar o [Método dos Trapézios](https://pt.wikipedia.org/wiki/Regra_dos_trap%C3%A9zios_\(equa%C3%A7%C3%B5es_diferenciais\)) para integrais no Portugol Studio, então resolvi compartilhar toda a teoria e a implementação final aqui. É importante que, para compreender 100% o que vai ser dito aqui, o leitor já tenha estudado Cálculo I. Vamos lá!

## Cálculo

Primeiramente, vamos analisar a definição precisa de integral através do [método do ponto médio](https://pt.wikipedia.org/wiki/Integra%C3%A7%C3%A3o_num%C3%A9rica#Exemplos_2). A integral se propõe, no caso $\\mathbb{R}^2$, a calcular a área exata sob o gráfico de uma função (ou o volume no caso $\\mathbb{R}^3$) no intervalo $\[a,b\]$. Para isso, podemos dividir o eixo $x$ em $n$ subintervalos. Para cada subintervalo, escolhemos um $x\_i^*$ e definimos a área desse subintervalo como $f(x\_i^*)\\cdot \\Delta x$, em que $\\Delta x$ é o tamanho do subintervalo (dado por ${(b-a)/n}$).

A Figura 1 abaixo mostra as diversas somas com $n=4$, $n=8$, $n=16$ e $n= 32$. Observe que, quando $n$ aumenta, a soma das áreas de cada subintervalo se aproxima da área sob o gráfico da função.

![Figura 1: Somas convergindo.](https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/2/2a/Riemann_sum_convergence.png align="left")

Figura 1: Somas convergindo.

Isso pode ser representado, matematicamente, por:

$$A \approx \sum\limits_{i=1}^n {f(x_i^*)\cdot \Delta x}$$

Sendo assim, se tomamos o limite quando $ n \\to \\infty $, então obtemos uma soma perfeita:

$$\int\limits_a^b{f(x)dx} = \lim_{n \to \infty} {\sum\limits_{i=1}^n {f(x_i^*)\cdot \Delta x}}$$

Infelizmente, são muitos os casos em que é simplesmente impossível calcular o limite infinito para encontrar uma integral exata. Daí recorremos a métodos de aproximação. Apenas remover o limite e *escolher* um $n$ arbitrariamente grande é chamado de Método dos Retângulos. Um outro método, com um erro bem menor, é o Método dos Trapézios, ou Integração Trapezoidal.

Nesse método, em vez de somar vários retângulos, cada um aproximando a área entre $x\_{i-1}$ e $x\_i$, usamos trapézios. Veja na Figura abaixo a comparação entre os dois métodos.

![Figura 2(a): Integração por Retângulos.](https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/e/ea/Integration_rectangle.png align="left")

Figura 2(a): Integração por Retângulos.

![Figura 2(b): Integração Trapezoidal.](https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/a/a8/Calkowanie_numeryczne-metoda_trapezow.png align="left")

Figura 2(b): Integração Trapezoidal.

A implementação desse método é parecida com o dos retângulos. Começamos dividindo o intervalo de integração $\[a,b\]$ em $n$ subintervalos de tal forma que $\\Delta x = \\frac{b-a}{n}$.

A área do trapézio é dada por: $$\\frac{(B+b)\\cdot h}{2}$$ Em que $B$ e $b$ são as bases do trapézio e $h$ é a altura. No nosso caso (considere o $i$-ésimo subintervalo), a "altura" do trapézio é $\\Delta x$, ao passo que as bases são $f(x\_i)$ e $f(x\_{i-1})$.

Observação: note que $x\_0 = a$ e $x\_n = b$ .

Podemos, então, tomar um $n$ arbitrariamente grande e teremos a integral aproximada:

$$\int\limits_a^b {f(x)dx} \, \approx \, \sum\limits_{i=1}^n {\frac{[f(x_i) + f(x_{i-1})]\cdot \Delta x}{2}}$$

Como ${\\Delta x}/{2}$ é uma constante, pode ser removido da soma.

$$\int\limits_a^b {f(x)dx} \, \approx \, \frac{\Delta x}{2}\sum\limits_{i=1}^n {[f(x_i) + f(x_{i-1})]}$$

Então temos a equação final para o método dos trapézios. Basta, agora, implementá-lo.

Veja a implementação:

* [Portugol Studio](https://hmprog.blogspot.com/2019/10/integracao-aproximada-metodo-trapezio-portugol.html)
    
* [Python](https://hmprog.blogspot.com/2019/10/integracao-aproximada-metodo-trapezio-python.html)